A equação da reta tangente a uma elipse

Vamos considerar uma elipse centrada na origem com equação:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \tag{1}$$

Onde:

• $a$ é o semi-eixo maior
• $b$ é o semi-eixo menor

Dado um ponto $P(x_0,y_0)$ pertencente à elipse, vamos determinar a equação da reta tangente à elipse nesse ponto.

Demonstração:

Se derivarmos implicitamente em relação a $x$ a equação da elipse, encontramos a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao ponto $P(x_0,y_0)$:

$$\frac{d}{dx} \left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right) = \frac{d}{dx} (1)$$

Aplicando a regra da cadeia, obtemos:

$$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \ \frac{dy}{dx} = 0$$

Vamos isolar $dy/dx$ para encontrarmos a inclinação da reta tangente:

$$\frac{2y}{b^2}\ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}\\ \ \\ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}\ \frac{b^2}{2y}\\ \ \\ \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}$$

Assim, no ponto $P(x_0,y_0)$ o coeficiente angular da reta tangente pode ser expresso por:

$$m = \frac{dy}{dx} = - \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} \tag{2}$$

Por outro lado, se tomarmos a definição da inclinação da reta, teremos:

$$m = \frac{y_0-y}{x_0-x} \tag{3}$$

Essa equação também é conhecida por equação ponto-inclinação da reta.

Substituindo $(2)$ em $(3)$, obtemos:

$$y-y_0 = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - x_0)\\ \ \\ a^2y_0(y-y_0) = - b^2x_0(x-x_0)$$

Aplicando a propriedade distributiva:

$$a^2y_0y - a^2y_0^2 = - b^2x_0x + b^2x^2_0$$

Reorganizando os termos, obtemos:

$$b^2x_0x + a^2y_0y = b^2x_0^2 + a^2y_0^2$$

Dividimos ambos os membros por $a^2b^2$:

$$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \tag{4}$$

Como o ponto $P(x_0,y_0)$ pertence à elipse, temos:

$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \tag{5}$$

Substituímos $(5)$ no membro da direita de $(4)$, obtendo finalmente a equação da reta tangente à elipse:

$$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 \tag{6}$$

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Exemplo 1:

Seja uma elipse definida pela equação:

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$

Vamos encontrar a equação da reta tangente à elipse no ponto $\displaystyle P\left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right)$.

Antes de prosseguir com a resolução, vamos verificar se o ponto $P$ realmente pertence à elipse. Para isso, substituímos as coordenadas de $P$ na equação da elipse.

$$\frac{\left(\displaystyle \frac{3}{2}\right)^2}{9} + \frac{\left(\displaystyle \sqrt{3}\right)^2}{4} = 1\\ \ \\ \frac{\displaystyle \frac{9}{4}}{9} + \frac{3}{4} = 1\\ \ \\ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\\ \ \\ 1 = 1$$

Como a igualdade é satisfeita, concluímos que $P$ pertence à elipse. Agora, vamos aplicar as coordenadas do ponto $P$ na fórmula da reta tangente:

$$\frac{\displaystyle \frac{3}{2}x}{9} + \frac{\sqrt{3}y}{4} = 1\\ \ \\ \frac{3}{2}\ \frac{1}{9}x + \frac{\sqrt{3}}{4} y = 1\\ \ \\ \frac{1}{6}x = \frac{\sqrt{3}}{4}y = 1$$

Ou ainda:

$$2x + 3\sqrt{3} = 12$$

Graficamente, temos:

Exemplo 2:

Dada a reta $3x+4y=25$, tangente à elipse centrada na origem no ponto $P(3,4)$, encontrar a equação da elipse.

Vamos verificar se $P(3,4)$ pertence à reta:

$$3x+4y=25\\ \ \\ 3(3)+4(4) = 25\\ \ \\ 9+16 = 25\\ \ \\ 25=25$$

Como a igualdade foi satisfeita, concluímos que $P$ pertence à reta.

A equação da elipse centrada na origem é dada por:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$$

Pelo enunciado do problema, a reta é tangente à elipse. Sabemos que a equação da reta tangente à elipse no ponto $P(x_0,y_0)$ é dada por:

$$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$$

No ponto $P(3,4)$, temos:

$$\frac{3x}{a^2}+\frac{4y}{b^2}=1$$

A reta $3x+4y=25$ pode ser reescrita como:

$$\frac{3x}{25} + \frac{4y}{25}=1$$

Igualando os coeficientes da equação da reta com a equação da tangente, obtemos:

$$\begin{matrix} \displaystyle \frac{3}{a^2}=\frac{3}{25} &\ \ & \displaystyle \frac{4}{b^2}=\frac{4}{25}\\ 3a^2 = 75 & \ \ & 4b^2 = 100\\ a^2 = 25 & \ \ & b^2 = 25 \end{matrix}$$

Substituindo $a^2$ e $b^2$ na equação geral, obtemos:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{25} = 1$$

Ou simplificando:

$$x^2+y^2=25$$

A conclusão que chegamos é que a elipse se degenerou em uma circunferência centrada na origem, pois $a^2=b^2=25$.

Graficamente, temos:

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